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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 17

Resolva o problema de valor inicial.

t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t > 0 , u (2) = 4

Passo 1

Temos que

t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u

Para resolvermos o problema de valor inicial, fazemos que:

u^' - (3)/(t) u = t

Passo 2

Sabemos que:

I (t) = e^(int - (3)/(t) d t) = e^(- 3 ln | t |) = (e^(ln |t|))^(- 3) = (1)/(t^3)

Para t > 0 .

Multiplicando I (t) por u^' - (3)/(t) u = t

Isso nos dá que:

(1)/(t^3) u^' - (3)/(t^4) u = (1)/(t^2)

Isso implica que:

((1)/(t^3))^' = (1)/(t^2)

=> (1)/(t^3) u = int (1)/(t^2)

=> (1)/(t^3) u = - (1)/(t) + C

Passo 3

Aplicando a condição

u (2) = 4

Ficamos com:

(1)/(2^3) (4) = - (1)/(2) + C

Isso nos dá que

C = 1

Assim,

(1)/(t^3) u = - (1)/(2) t + 1

Ou

u = - t^2 + t^3

Resposta

u = - t^2 + t^3

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