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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 22

Calcule as somas nos Exercícios 19-32.

22.

sum_(k = 1)^5 (pi k)/(15)

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa somatória.

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

sum_(k = 1)^5 ( (pi)/(15) k ) = ((pi)/(15) * 1) + ((pi)/(15) * 2) + ((pi)/(15) * 3) + ((pi)/(15) * 4) + ((pi)/(15) * 5)

Perceba que todos os termos são multiplicados por ((pi)/(15)) , então a gente pode colocar o ((pi)/(15)) em evidência, porque todos os termos são números reais, essa propriedade chama-se distributiva. Então

sum_(k = 1)^5 ((pi)/(15) k) = (pi)/(15) ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )

Repare então que a gente pode colocar em evidência do outro lado também, quero dizer

sum_(k = 1)^5 ((pi)/(15) k) = (pi)/(15) sum_(k = 1)^5 k

Passo 3

Agora teremos o seguinte

(pi)/(15) sum_(k = 1)^5 k = (pi)/(15) ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )

Note que se somarmos o último termo com o primeiro termo o resultado é 6, se somarmos o segundo termo com o penúltimo termo também vai ser 6, assim como o antepenúltimo e o terceiro e assim por diante.

A gente pode reorganizar esses termos da seguinte forma

(pi)/(15) sum_(k = 1)^5 k = (pi)/(15) [ (5 + 1) + (4 + 2) + 3 ]

Isso é a mesma coisa que

(pi)/(15) sum_(k = 1)^5 k = (pi)/(15) [(a_0 + a_n) (n - 1)/(2) + ((a_0 + a_n))/(2)] = (pi)/(15) [(n (a_0 + a_n))/(2) - ((a_0 + a_n))/(2) + ((a_0 + a_n))/(2)] = (pi)/(15) [(n (a_0 + a_n))/(2)] = (pi)/(15) [(5 (1 + 5))/(2)] = (pi)/(15) * 15 = pi

Resposta

O resultado da somatória é pi .

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