Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 60
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
60.
Passo 1
Tudo show, gente?
O enunciado quer que encontremos os valores de para a série convergir. Depois, para fazermos sua soma.
Colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:
Epa! Esse formato �� característico de uma série geométrica!
Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso temos que e , uma vez que é o primeiro termo da sequência (encontrado quando resolvemos a série com ) e é a relação comum.
Passo 2
Vamos relembrar:
Se , a série é divergente.
Se , então a série é convergente.
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de .
Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
Passando o termo multiplicador tanto para a inequação da esquerda quanto para a direita:
Passando tanto para a inequação da esquerda quanto para a direita:
Fazendo o M.M.C.:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Passo 3
Por fim, a soma será dada pela fórmula da soma de séries geométricas: