Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 91
Considere a série
a) Encontre as somas parciais . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para .
b) Use indução matemática para demonstrar sua conjectura.
c) Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma.
Passo 1
Galerinha, aqui estamos trabalhando com a seguinte série:
No item a, queremos as somas dos primeiros termos da série, pra depois a gente tentar deduzir a soma de termos. Basicamente vamos substituir os valores e ver o que acontece.
Para demonstrarmos a conjectura de temos que seguir os seguintes passos:
- 1° Provar que para que a base de indução, isto é, , é verdadeira;
- 2° Por hipótese de indução temos que é verdadeiro, então é necessário provar que também é verdadeiro;
- 3° Por fim, provando que a indução está correta, concluímos que é verdadeiro para qualquer número natural.
No item c, a soma da série infinita pode ser calculada aplicando o limite com para a sequência em questão:
Passo 2
Então galera, de início vamos calcular as somas parciais, tudo bem? Temos o seguinte:
Substituindo os valores
Pelos resultados conseguimos notar que o denominador tem o formato de
Eu sei que isso pode parecer estranho e difícil de perceber. Mas aí temos que treinar o olho mesmo. É bem comum aparecerem fatoriais, então vale a pena decorar isso aí.
Se o denominador é sempre uma unidade maior do que o numerador, então você deve concordar comigo que podemos representar o numerador da seguinte forma:
Que equivale ao que acabamos de concluir, não é mesmo? Sendo assim, uma conjectura para será:
Passo 3
b) Para demonstrarmos a conjectura de , vamos seguir aqueles passos que falamos lá no passo 1:
Para , temos:
Tomando que é verdadeiro, então , logo:
Para , temos:
Sendo assim, fica provado que para a fórmula é válida e verdadeira. Portanto, a indução está correta.
Passo 4
c) A soma da série infinita pode ser calculada aplicando o limite com para a sequência em questão. Se fizermos isso, teremos:
Para o segundo limite, se dividirmos tudo por , teremos:
Aqui vale ressaltar que , tudo bem? Sendo assim, nosso resultado será:
Resposta
a) , , e
c)