Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 30c
Calcule a soma
Passo 1
Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.
Vamos então para a nossa questão!
Passo 2
Inicialmente precisamos mudar os valores do limite do somatório, pois começamos a contar a partir de , e para aplicarmos as nossas regras, o valor de deve ser igual a 1. Portanto, façamos um número . Quando , . Já quando , . Portanto, escrevemos:
Passo 3
Agora, utilizando a regra de multiplicação por uma constante para reduzir ao máximo os nossos somatórios, obtemos:
Passo 4
Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:
Portanto, para e , temos:
Passo 5
Nos falta calcular a soma dos primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:
Portanto, para , temos:
Passo 6
Já a soma dos primeiros quadrados é dada pela seguinte relação:
Portanto, temos:
Passo 7
Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 4, 5 e 6na relação descrita no Passo 3. Sendo assim, o somatório é igual a: