Utilize o resultado do Exercício 91 para mostrar que

1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

diverge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série a n =   1 ln ⁡ n para n ≥ 2

Daí, usando a e expressão a 2 + a 4 + a 8 + … , temos:

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 8 + …

Aplicando as propriedades de logaritmo:

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 2 2 + 1 ln ⁡ 2 3 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 3 ln ⁡ 2 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 1 + 1 2 + 1 3 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

A série ∑ n = 1 ∞ 1 n é uma p-série divergente pois p =   1 .

Do resultado do exercício 91, temos que a série

∑ n = 2 ∞ a n n =   ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

É divergente, portanto, 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n diverge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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