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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 22

Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24

22. ∑ n = 3 ∞ - 8 ( 4 n - 3 ) ( 4 n + 1 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos a decomposição da fração parcial de uma fração racional no argumento da série

- 8 4 n - 3 4 n + 1 = A 4 n - 3 + B 4 n + 1

Desenvolvendo os termos, nós temos que

- 8 4 n - 3 4 n + 1 = 4 n A + B + A - 3 B 4 n - 3 4 n + 1

Esta decomposição fornece o sistema de equação linear

A - 3 B = - 8 A + B = 0

Resolvendo este sistema

A + B = 0 → B = - A

A - 3 - A = - 8 → 4 A = - 8 → A = - 2

Com isso,

B = - A = 2

Portanto,

- 8 4 n - 3 4 n + 1 = 2 4 n + 1 - 2 4 n - 3

Passo 2

Desenvolvendo mais os termos

- 8 4 n - 3 4 n + 1 = 1 2 n + 1 2 - 1 2 n - 3 2

Colocando o termo 1 2

- 8 4 n - 3 4 n + 1 = 1 2 1 n + 1 4 - 1 n - 3 4

Vamos considerar que a n = 1 n + 1 4 , então a série pode ser reescrita como

∑ n = 3 ∞ - 8 4 n - 3 4 n + 1 = 1 2 ∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 4 - 1 n - 3 4

Série telescópica a vista, logo, temos que

∑ n = 3 ∞ - 8 4 n - 3 4 n + 1 = 1 2 ∑ n = 3 ∞ a n - a n - 1 = - 1 2 ∑ n = 3 ∞ a n - 1 - a n

Passo 3

Esta série

∑ n = 3 ∞ a n - a n - 1

É uma série telescópica

∑ n = 3 ∞ a n - 1 - a n = a 2 - lim n → ∞ ⁡ a n

Logo,

∑ n = 3 ∞ a n - 1 - a n = 4 9 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 4 = 4 9

Com isso, temos o seguinte resultado

∑ n = 3 ∞ - 8 4 n - 3 4 n + 1 = - 2 4 9 = - 2 9

Resposta

∑ n = 3 ∞ - 8 4 n - 3 4 n + 1 = - 2 9

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