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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 32c

Calcule a soma

  1. sum_(k = 1)^n ((1)/(n) + 2 n)

  2. sum_(k = 1)^n (c)/(n)

sum_(k = 1)^n (k)/(n^2)

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Utilizando a regra da multiplicação por uma constante, podemos colocar a constante para fora do somatório. Assim temos:

sum_(k = 1)^n (k)/(n^2) = (1)/(n^2) * sum_(k = 1)^n k

Passo 3

Precisamos calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = n , temos:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Passo 4

Multiplicando os resultados anteriores, obtemos:

sum_(k = 1)^n (k)/(n^2) = (1)/(n^2) * (n ( n + 1 ))/(2)

sum_(k = 1)^n (k)/(n^2) = (n + 1)/(2 n)

Resposta

sum_(k = 1)^n (k)/(n^2) = (n + 1)/(2 n)

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