Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 8

Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

, é o limite da partes do plano no primeiro octante.

Passo 1

Fala ai pessoal.O exercício pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha de sobre a curva .Onde:

e é o limite da partes do plano no primeiro octante.

Beleza, então para resolver esse problema iremos utilizar o Teorema de Stokes da seguinte forma:

Dessa forma, precisamos calcular o rotacional de que é dado por:

Depois precisamos encontrar o vetor normal da superfície:

Feito isso iremos achar o produto escalar entre:

Agora a última coisa antes de começar a calcular , será os pontos de interseção do plano com o eixo da coordenada, que serão os nossos limites de integração.

Vamos juntos!

Passo 2

Então o primeiro passo é calcular o rotacional. Sabendo que:

e a nossa função é:

Vamos começar por:

Assim:

e

Substituindo na fórmula do rotacional :

Passo 3

Agora vamos encontrar:

Assim:

e

Substituindo em:

Logo:

Passo 4

Por último vamos achar:

Assim:

e

Substituindo em:

Logo:

Opa , então nosso rotacional será:

Passo 5

Agora vamos achar o vetor normal. Neste caso, a superfície que usaremos na integral de superfície é a parte do plano restrita ao primeiro octante.

Para uma equação desse tipo, o vetor normal é encontrado ao extrairmos os coeficientes das nossas variáveis:

Logo, o vetor normal dessa superfície será o vetor normal do plano :

Agora vamos achar o produto escalar entre:

Assim,

Substituindo na integral:

Passo 6

Agora vamos achar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados. Lembrando que nosso plano é .

Fazendo , achamos

Fazendo :

E :

Podemos parametrizar a superfície isolando e deixando e como parâmetros livres:

No plano , temos o seguinte desenho:

A equação dessa reta é

Logo podemos dizer que:

e

Certo, então esses serão os nossos limites de integração, como nossas variáveis serão e , logo:

Assim, a integral de superfície será:

Passo 7

Vamos começar então a integrar:

Fazendo a primeira integração em :

Teremos:

Substituindo os limites de integração:

Vamos rearranjar os termos:

Assim:

Portanto,

Logo,substituindo na integral inicial:

Fazendo a integração:

Logo:

Portanto, pelo Teorema de Stokes:

Resposta

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