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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 6

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = e x y + e x z j ^ + x 2 z k ^

S é a metade do elipsoide   4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela pede para usar Teorema de Stokes para calcular

∬ S ∇ → × F → ⋅ d S →

Sendo que

F → x , y , z = e x y + e x z j ^ + x 2 z k ^

E S é a metade do elipsoide

4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4

Que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y . E

d S → =   n → d S

Muito bem! Primeiro vamos relembrar como se calcula o rotacional:

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Mais uma coisa, como estamos usando integral dupla e temos um elipsoide, vamos usar coordenadas polares!

Então, calcularemos o rotacional, acharemos os limites da área S em coordenadas polares, montaremos a integral também em coordenadas polares e resolveremos.

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional do campo

F → x , y , z = e x y + e x z j ^ + x 2 z k ^

Aplicando o rotacional:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x y e x z x 2 z

Resolvendo esse determinante, chegamos em:

∇ × F → = i → ∂ ∂ y ( x 2 z ) - ∂ ∂ z ( e x z ) + j → ∂ ∂ z ( e x y ) - ∂ ∂ x ( x 2 z ) + k → ∂ ∂ x ( e x z ) - ∂ ∂ y e x y

Calculando as derivadas parciais:

∇ × F → = - x e x z , - 2 x z , z e x z - x e x y

Passo 3

E quanto a região de integração? Temos o elipsoide

4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4

Que está cordado pelo plano x z que é plano y = 0 , temos então:

4 x 2 + 4 z 2 = 4

Dividindo tudo por 4 :

x 2 + z 2 = 1

Um círculo de raio 1 , então em coordenadas polares

x = r c o s θ

z = r s e n θ

Temos que

x 2 + z 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = 1

Usando a propriedade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

r 2 = 1

r = 1

Temos também que

d A = r d r d θ

E como temos um círculo completo de raio 1 .

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π  

Show! Já temos nosso integrando e os limites de integração!

Passo 4

O vetor normal tem a orientação do eixo y positivo, então esse vetor é:

n → = 0,1 , 0

Agora vamos calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal:

- x e x z , - 2 x z , z e x z - x e x y ⋅ 0,1 , 0 = - 2 x z

Substituindo em coordenadas polares:

x = r c o s θ

z = r s e n θ

Vamos ficar com:

- 2 x z = - 2 r 2 c o s θ   s e n θ

Como temos r = 1 :

- 2 r 2 c o s θ   s e n θ = - 2 c o s θ   s e n θ

Feito!

Passo 5

Agora é só jogar tudo isso na integral dupla!

∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 2 r c o s θ r s e n θ . r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 2 r c o s θ r s e n θ . r d r d θ = - 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 c o s θ s e n θ . r 3 d r d θ

Como os limites de integração são constantes, não importa a ordem de integração e podemos separar elas:

- 2 ∫ 0 2 π c o s θ   s e n θ   d θ ∫ 0 1 r 3 d r

Resolvendo para θ por substituição:

- 2 ∫ 0 2 π c o s θ   s e n θ   d θ ∫ 0 1 r 3 d r = - 2 1 2 s e n 2 θ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r

Aplicando os limites:

- 2 1 2 s e n 2 θ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r = - 2 0 2 - 0 2 ∫ 0 1 r 3 d r

Simplificando:

- 2 0 2 - 0 2 ∫ 0 1 r 3 d r = 0 ∫ 0 1 r 3 d r

Portanto,

0 ∫ 0 1 r 3 d r = 0

Assim, temos que nossa integral é

∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → = 0

Beleza?

Resposta

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