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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 57d

Calcule ∫ 2 s e n x c o s x   d x por três métodos: (d) explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c).

Passo 1

Sejam as respostas das alternativas chamads de A, B e C.

A = s e n x 2 + K 1 B = - c o s x 2 + K 2 C = - 1 2 cos ⁡ 2 x +   K 3

Sabemos da seguinte identidade trigonométrica s e n x 2 + c o s x 2 = 1 e que cos ⁡ a + b = c o s a c o s b - s e n a s e n b . Sendo assim, vamos reescrever B e C.

B = - 1 - s e n x 2 + K 2 = s e n x 2 - 1 + K 2 C = - 1 2 c o s x c o x - s e n x s e n x + K = - 1 2 c o s x 2 - s e n x 2 + K 3

Substituindo o c o s x 2 em C temos:

C = - 1 2 1 - s e n x 2 - s e n x 2 + K 3 = - 1 2 1 - 2 s e n x 2 + K 3 C = - 1 2 + s e n x 2 + K 3

Passo 2

Podemos ver que as três repostas são iguais com as seguintes particularidades:

s e n x 2 + K 1 = s e n x 2 - 1 + j K 2 K 2 = K 1 + 1

Além disso,

s e n x 2 + K 1 = s e n x 2 - 1 2 + K 3 K 3 = 1 2 + K 1

Resposta

O resultado final é:

K 2 = K 1 + 1

K 3 = 1 2 + K 1

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