Calcule

int c o t g^(n (x) d x) = - (c o t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int c o t g^(n - 2) x d x

Passo 1

Temos que verificar a integral

int c o t g^n (x) d x = - (c o t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int c o t g^(n - 2) x d x

Passo 2

O primeiro passo é fazer o seguinte protuto

c o t g^n (x) = c o t g^(n - 2) x c o t g^2 x

Onde

c o t g^2 (x) = c o s e c^2 (x) - 1

Agora temos

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) - int c o t g^(n - 2) x d x

Fazendo integral por partes

u^' = c o s e c^2 x

v = c o t g^(n - 2)

u = - c o t g (x)

v^' = (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x)

Onde

int v u^' = u v - int v ' u

substituindo

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) d x = = (- c o t g (x) c o t g^(n - 2)) - int (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x) c o t g (x) d x

Fazendo agora a integral

int (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x) c o t g (x) d x = - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) c o s e c^2 x d x

Passo 3

Logo ficamos com a integral completa

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) c o s e c^2 x d x

Onde

c o t g^2 (x) + 1 = c o s e c^2 (x)

int c o t g^(n - 2) x (c o t g^2 (x) + 1) - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) ( c o t g^2 (x) + 1 ) x d x

Simplificando

int c o t g^n x d x + int (c o t g^(n - 2) x) d x - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int c o t g^n x d x - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) d x

Passando + ( n - 2 ) int c o t g^n x d x para o outro lado

int c o t g^n x d x + ( n - 2 ) int c o t g^n x d x = int ( n - 1 ) c o t g^n x d x

Logo temos

int c o t g^n x d x = - ((c o t g^(n - 1)))/(n - 1) - (n - 2)/(n - 1) int c o t g^(n - 2) x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados