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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 2h

Calcule

int c o t g^(n (x) d x) = - (c o t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int c o t g^(n - 2) x d x

Passo 1

Temos que verificar a integral

int c o t g^n (x) d x = - (c o t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int c o t g^(n - 2) x d x

Passo 2

O primeiro passo é fazer o seguinte protuto

c o t g^n (x) = c o t g^(n - 2) x c o t g^2 x

Onde

c o t g^2 (x) = c o s e c^2 (x) - 1

Agora temos

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) - int c o t g^(n - 2) x d x

Fazendo integral por partes

u^' = c o s e c^2 x

v = c o t g^(n - 2)

u = - c o t g (x)

v^' = (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x)

Onde

int v u^' = u v - int v ' u

substituindo

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) d x = = (- c o t g (x) c o t g^(n - 2)) - int (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x) c o t g (x) d x

Fazendo agora a integral

int (n - 2) c o t g^(n - 3) x (c o s e c^2 x) c o t g (x) d x = - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) c o s e c^2 x d x

Passo 3

Logo ficamos com a integral completa

int c o t g^(n - 2) x (c o s e c^2 (x)) - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) c o s e c^2 x d x

Onde

c o t g^2 (x) + 1 = c o s e c^2 (x)

int c o t g^(n - 2) x (c o t g^2 (x) + 1) - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) ( c o t g^2 (x) + 1 ) x d x

Simplificando

int c o t g^n x d x + int (c o t g^(n - 2) x) d x - int c o t g^(n - 2) x d x =

(- c o t g^(n - 1)) - ( n - 2 ) int c o t g^n x d x - ( n - 2 ) int (c o t g^(n - 2) x) d x

Passando + ( n - 2 ) int c o t g^n x d x para o outro lado

int c o t g^n x d x + ( n - 2 ) int c o t g^n x d x = int ( n - 1 ) c o t g^n x d x

Logo temos

int c o t g^n x d x = - ((c o t g^(n - 1)))/(n - 1) - (n - 2)/(n - 1) int c o t g^(n - 2) x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ s e n π θ c o s π θd θ ; u = s e n π θ b ∫ 2 x + 7 x 2 + 7 x + 3 4 / 5d x ; u = x 2 + 7 x + 3
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ sin ⁡ 3 θ 1 + cos ⁡ 3 θd θ ; u = 1 + cos ⁡ 3 θ b ∫ e x 1 + e xd x ; u = 1 + e x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ 1 x 9 x 2 - 1d x ; u = 3 x b ∫ 1 x ( 1 + x )d x ; u = x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ 1 x sin ⁡ ( x )d x ; u = x b ∫ 3 x x 2 + 5d x ; u = 4 x 2 + 5
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ x 3 5 x 4 + 2d x