Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

32,002^(1/5)

Passo 1

Vamos fazer f x = x 5 , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x 0 = 32 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 32 + f ' 32 x - 32

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = 32 , vamos lá:

f x = x 5 → f 32 = 2

f ' x = f ' x 5 = 1 5 x 4 5 → f ' 32 = 1 5 ⋅ 32 4 5 = 1 5 ⋅ 16 = 1 80

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 32 + f ' 32 x - 32 = 2 + 1 80 x - 32

Temos que:

f 32,002 ≅ 2,000 0 2499 9

P 32,002 ≅ 2,000 0 2 5

Avaliando o erro vamos ter:

f 32,002 - P 32,002 ≤ 10 - 9

Resposta

2,000 0 25 e f 32,002 - P 32,002 ≤ 10 - 9

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