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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 2b

Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

root(5)(32,002)

Passo 1

Vamos fazer f (x) = root(5)(x) , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x_0 = 32 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + * * * + (f^((n)) (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P (x) = f (32) + f^' (32) (x - 32)

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f (x) e aplicar o ponto x_0 = 32 , vamos lá:

f (x) = root(5)(x) -> f (32) = 2

f^' (x) = f^' (root(5)(x)) = (1)/(5 x^((4)/(5))) -> f^' (32) = (1)/(5 * 32^((4)/(5))) = (1)/(5 * 16) = (1)/(80)

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P (x) = f (32) + f^' (32) (x - 32) = 2 + (1)/(80) (x - 32)

Temos que:

f (32,002) tilde= 2,000 0 2499 9

P (32,002) tilde= 2,000 0 2 5

Avaliando o erro vamos ter:

|f (32,002) - P (32,002)| <= 10^(- 9)

Resposta

2,000 0 25 e |f (32,002) - P (32,002)| <= 10^(- 9)

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