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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2g

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = 0,8

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = x

f ' x = 1 2 x

f ' ' x = - 1 4 x 3

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 1 , além de f ( x 0 )

f 1 = 1

f 1 = 1

f ' ( 1 ) = 1 2 1

f ' 1 = 1 2

f ' ' 1 = - 1 4 1 3

f ' ' 4 = - 1 4

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 1 + 1 2 x - 1 - 1 4 x - 1 2

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = 0,8 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 0,8

P 2 0,8 = 1 + 1 2 0,8 - 1 - 1 4 0,8 - 1 2

P 2 0,2 = 0,89

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 0,8

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = 3 8 x 5

f 0,89 = 0,8

P x = P 2 0,8 = 0,89

0,89 - 0,89 ≤ 3 6.8 4 5 | 0,8 - 1 | 3

0,89 - 0,89 ≤ 0,000125

0,89 - 0,89 ≤ 10 - 3

Resposta

P 2 0,2 = 0,89

0,89 - 0,89 ≤ 10 - 3

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = 3,9
Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = ln ⁡ 1,3
Demonstrar que a diferença entre s e n ( a + h ) e s e n a + h c o s ( a ) é menor ou igual a 1 2 h 2 .
Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f x = 1 + c o s x no ponto c = π . Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos ⁡ 5 π 6 . Fazer uma estimativa para o erro.
Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: f x = x 6 - 2 x 4