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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2e

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = e x

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = e x

f ' x = e x

f ' ' x = e x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 0 , além de f ( x 0 )

f 0 = e 0

f 0 = 1

f ' ( 0 ) = e 0

f ' 0 = 1

f ' ' 0 = e 0

f ' ' 0 = 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = 1 + 1 x - 0 + 1 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 1 + x + x 2 2

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = e 0,03 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 0,03

P 2 0,03 = 1 + 0,03 + 0,03 2 2

P 2 0,03 = 1,03045

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 0

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = e x

f 0,03 = e 0,03

P x = P 2 0,03 = 1,03045

e 0,03 - 1,03045 ≤ e 0,03 6 | 0,03 - 0 | 3

e 0,03 - 1,03045 ≤ 0,0000045

e 0,03 - 1,03045 ≤ 10 - 5

Resposta

P 2 0,03 = 1,03045

e 0,03 - 1,03045 ≤ 10 - 5

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Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: f x = 4 x + 2 7
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