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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 2e

Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

cos 0,01

Passo 1

Vamos fazer f (x) = cos x , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x_0 = 0 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + * * * + (f^((n)) (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0)

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f (x) e aplicar o ponto x_0 = 0 , vamos lá:

f (x) = cos x -> f (0) = cos 0 = 1

f^' (x) = f^' (cos x) = - sen x -> f^' (0) = - sen 0 = 0

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) = 1 + 0 (x - 0) = 1

Temos que:

f (0,01) tilde= 0,99995

P (0,01) tilde= 1

Avaliando o erro vamos ter:

|f (0,01) - P (0,01)| <= 10^(- 4)

Resposta

1 e |f (0,01) - P (0,0 1)| <= 10^(- 4)

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