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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 2f

Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

ln 0,99

Passo 1

Vamos fazer f (x) = ln x , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x_0 = 1 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + * * * + (f^((n)) (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P (x) = f (1) + f^' (1) (x - 1)

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f (x) e aplicar o ponto x_0 = 1 , vamos lá:

f (x) = ln x -> f (1) = ln 1 = 0

f^' (x) = f^' (ln x) = (1)/(x) -> f^' (1) = (1)/(1) = 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P (x) = f (1) + f^' (1) (x - 1) = 0 + 1 (x - 1) = x - 1

Temos que:

f (0 , 99) tilde= - 0,01005

P (0 , 99) tilde= - 0,01

Avaliando o erro vamos ter:

|f (0 , 99) - P (0 , 99)| <= 10^(- 4)

Resposta

- 0,01 e |f (0,99) - P (0,99)| <= 10^(- 4)

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