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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 2d

Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

e^(0,001)

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + * * * + (f^((n)) (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Vamos fazer f (x) = e^x , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x_0 = 0 :

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0)

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f (x) e aplicar o ponto x_0 = 0 , vamos lá:

f (x) = e^x -> f (0) = e^0 = 1

f^' (x) = e^x -> f^' (0) = e^0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0)

P (x) = 1 + 1 (x - 0) = 1 + x

Temos que:

f (0,001) = e^(0,001) tilde= 1,0010005

P (0,001) = 1 + 0,001 tilde= 1,001

Passo 4

Avaliando o erro vamos ter:

|f (0,001) - P (0,001)| <= 10^(- 5)

Resposta

1,001 e |f (0,001) - P (0,001)| <= 10^(- 5)

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