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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 2a

Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

sqrt(4,001)

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + * * * + (f^((n)) (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Vamos fazer f (x) = sqrt(x) , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x_0 = 4 :

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P (x) = f (4) + f^' (4) (x - 4)

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f (x) e aplicar o ponto x_0 = 4 , vamos lá:

f (x) = sqrt(x) -> f (4) = 2

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) -> f^' (4) = (1)/(2 sqrt(4)) = (1)/(4)

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P (x) = f (4) + f^' (4) (x - 4)

P (x) = 2 + (1)/(4) (x - 4) = 2 + (x - 4)/(4)

Agora vamos fazer, P (4,001)

P (4,001) = 2 + ((4,001) - 4)/(4) tilde= 2,00025

Passo 4

Para avaliar o erro vamos ter:

|f (4,001) - P (4,001)| <= 10^(- 7)

Lembrando que f (4,001) = sqrt(4,001)

Resposta

2,00025 e |f (4,001) - P (4,001)| <= 10^(- 7)

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