Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C e x d x

C é o arco da curva x = y 3 indo de ( - 1 , - 1 ) até ( 1,1 )

Passo 1

Fala, galera! Tudo show?

Nesse exercício precisamos calcular o valor dessa integral de linha aqui:

∫ C e x d x

Onde a região C é o arco da curva x = y 3 que vai de ( - 1 , - 1 ) até ( 1,1 ) .

Para questões que tratam de integrais de linhas, iremos fazer transformações com parâmetros, descobrir os limites de integração e depois resolver. Belezinha?

Passo 2

Nesse caso, é conveniente escolher y como parâmetro, sendo assim, as equações paramétricas para C são:

x = y 3 ,     y = y ,     d x = 3 y 2 d y

Se substituirmos os pontos nesses novos parâmetros, então chegaremos a

- 1 ≤ y ≤ 1

Sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ - 1 1 e y 3 3 y 2   d y

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para y , podemos colocar o 3 para fora da integral como uma consante:

3 ∫ - 1 1 e y 3 y 2   d y

Vamos fazer pela técnica da substituição. Vamos chamar

u = y 3 → d u = 3 y 2 d y

d u 3 = y 2 d y

Assim,

3 ∫ - 1 1 e u d u 3

Jogando a fração de dentro da integral para fora, iremos cancelar os termos e ficar com

3 3 ∫ - 1 1 e u d u

∫ - 1 1 e u d u

Teremos

e u - 1 1

Como sabemos quem é u , entonces

e y 3 - 1 1 = e 1 3 - e - 1 3

Dessa forma, o valor da integral é:

e - 1 e

Resposta

∫ C e x d x = e - 1 e

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