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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.2 - Ex. 6

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C s e n   x     d x   ,                     C   é   o   a r c o   d a   c u r v a   x = y 4   d e   1 ,   - 1   a   ( 1 ,   1 )

Passo 1

Fala ai pessoal, essa questão nos pede para calcular a integral de linha em uma curva C.

A primeira coisa que vamos fazer é a parametrização da curva e depois descobriremos quais são os limites de integração. ok?

Entendendo bem isso poderemos começar a calcular a integral.

→ ∫ C s e n   x     d x

Passo 2

No enunciado ele nos informa que x = y 4   . Então temos que substituir esse novo valor de x   na nossa função e no diferencial ( d x ) .

Logo:

s e n   x = s e n   ( y ) 4

Agora precisamos achar a derivada de x em relação a y :

d d y ( x )

como sabemos que x = y 4   :

d d y ( x ) = d d y ( y 4 )

d d y ( x ) = 4 y 3

d x = 4 y 3 d y

Então, substituindo na integral

∫ C s e n   x     d x = ∫ - 1 1   s e n y 4 . 4 y 3   d y

Passo 3

Agora vamos para os intervalos. A nossa integral agora varia de acordo com y , então precisamos encontrar qual menor e maior valor que ele poderá adotar.

O exercício nos fornece isso no enunciado quando ele diz que C é o arco da curva

x = y 4   d e   1 ,   - 1   a   ( 1 ,   1 )

Dessa forma podemos ver que o menor valor de y = -   1 e o maior valor y =   1 . Então o intervalo será :

- 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 4

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ - 1 1 4 y 3   s e n y 4   d y

Para resolver iremos utilizar o método da substituição. Vamos supor que :

→ u = y 4

e

→ u ' . d y = d u

4 y 3 . d y = d u

d y = d u 4 y 3

Agora substituiremos esses novos valores na integral :

∫ - 1 1 4 y 3   u   .   d u 4 y 3

cortando 4 y 3   :

∫ - 1 1 s e n   ( u )   .   d u

- c o s   u   - 1 1

Agora que a integral está resolvida podemos substituir o u pelo valor original :

- c o s   ( y 4 )   - 1 1

- c o s   ( 1 ) 4   + c o s   - 1 4

- c o s   1   + c o s   1  

∫ - 1 1 4 y 3   s e n y 4   d y = 0

Resposta

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