Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 45
Um homem pesando carrega uma lata de tinta de por uma escada helicoidal em torno de um silo de raio de pés. Se o silo tem pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
Temos um cara doidão que pesa , carregando uma lata de tinta com peso de , subindo por uma escada helicoidal, em torno de um silo de raio de pés e altura de pés.
Se ele maluco der três voltas completas em torno do silo pra subir no topo, qual o trabalho realizado contra a gravidade?
Se estamos trabalhando com trabalho, iremos fazer um cálculo de integrais de linha.
Então vamos parametrizar algumas informações e depois arrastar pra cima!
Para começar, vamos determinar a força total que o homem deve fazer contra a gravidade.
Se ele pesa e ele está carregando uma lata de tinta de , no mínimo ele deve fazer uma força total de na direção vertical. Então:
Passo 2
Vamos agora parametrizar o caminho Como estamos numa escada helicoidal, vamos interpretar que estamos nas coordenadas cilíndricas.
Se o silo tem pés de raio, pés de altura e três voltas na escada , uma parametrização possível é:
E assim o vetor fica:
E o vetor ? Bom, ele é a derivada de , que está lá na fórmula do trabalho e precisamos saber!
E a função na nova parametrização? Como ela é constante, independe da parametrização =D.
Passo 3
Beleza! Agora para calcular o trabalho:
Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e calcular a integral! Vamos lá?
Assim, o trabalho realizado é