Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 42
A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto com vetor posição é , onde é uma constante (veja o Exemplo da seção ). Determine o trabalho realizado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de a
Passo 1
Oi, galera, tudo bem?
A questão fala de uma força elétrica exercida sobre uma partícula carregada na origem :
Onde é uma constante e é vetor posição .
Com isso, precisamos descobrir o trabalho dessa partícula quando ela se move como uma reta, dos pontos até . Belê?
Galera, se estamos trabalhando com trabalho, então precisaremos calcular uma integral de linha definida pelo produto escalar de
Então o que precisamos fazer é encontrar a reta, parametrizá-la e desenvolver cada termo de dentro da integral. Bora lá 😊
Passo 2
Primeiro vamos descobrir a equação paramétrica da reta.
Vamos criar um vetor através dos pontos que temos. Damos um nome para cada ponto:
Então, o vetor:
Por que fizemos isso? Para jogarmos na fórmula da equação parametrizada da reta:
Vamos escolher qualquer um dos pontos e substituir na fórmula:
Assim, achamos
Pois assim temos que em temos o ponto e com temos .
E assim o vetor fica:
E o valor de é:
E o vetor ? Bom, ele é a derivada de :
E a função na nova parametrização? Só substituir tudo, saca só:
Passo 3
Beleza! Agora para calcular o trabalho temos:
Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e fazer a integral! Vamos lá?
Colocando a constante para fora:
Agora vamos resolver por substituição simples. Supondo
Ficamos com a seguinte integral:
Feito! É esse o trabalho realizado! 😉