Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 15
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
é o segmento de reta de
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo é:
Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo e integrar em relação à :
Isso vai nos dar a função potencial mais uma constante só de , digamos (pois derivando em relação à ela desaparece, sacou?):
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 2
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar os dois lados!
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
E a função potencial é:
Mas e agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao integrar a função potencial em relação à surge uma constante em . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à , igualar à e depois integrar em relação à ! Vamos lá?
Passo 3
Show! Vamos derivar a função potencial em relação a :
Beleza! E agora comparando com a componente do passo temos:
Agora vamos integrar em :
Agora sim aqui é uma constante mesmo =)
E a função
Passo 4
Show! Agora temos que o ponto final é e a função potencial nesse ponto é:
E no ponto inicial, que é a função vale:
Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:
É isso! O valor de é !