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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3g

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

g ) int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x

Passo 1

Oi, pessoal! Nós temos uma subtração na nossa integral. Então para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas. Assim,

int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x = int (1)/(2) d x - int (1)/(2) cos 2 x d x

A primeira integral sai direto,

int (1)/(2) d x = (1)/(2) x + c_1

Na segunda vamos ter que fazer uma substituição simples. Bora lá!

Passo 2

Para resolver a integral

int (1)/(2) cos 2 x d x

Nós vamos chamar o que está dentro do cosseno de u . Fica assim,

u = 2 x

d u = (d x)/(2)

Fazendo a substituição, ficamos com

int cos u d u = sin u

Voltando para variável x ,

int (1)/(2) cos 2 x d x = sin 2 x + c_2

Pronto, já resolvemos os termos, então meu resultado final é

int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x = (x)/(2) - sin 2 x + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x^(alpha) ) ' = alpha x^(alpha - 1) e que ( sin u ) ' = u^' cos u . Então,

((1)/(2) x - (1)/(4) sin 2 x + k)^' = ((1)/(2) x)^' - ((1)/(4) sin 2 x)^' + ( k ) ' = (1)/(2) - 2 (1)/(4) cos 2 x + 0 = (1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x = (1)/(2) x - (1)/(4) sin 2 x + k

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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: ac = b (Teorema dado no livro).
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