Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8e
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
Passo 1
Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por
Ou:
Onde .
Neste caso, é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.
Além disso, é dado no enunciado pela inequação . Observando o esboço do conjunto:
Os limites de integração podem ser dados por:
E
Ou:
E
Passo 2
Logo, o volume será dado por:
Como o integrando é uma função par, então:
Resolvendo a integral em relação à :
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 3
Agora, integrando em relação à , podemos resolver através do método da substituição simples, com e .
Também, fazendo as substituições tem-se que:
Quando
Quando
Então:
Lembrando que:
A integral pode ser reescrita como:
Então:
Passo 4
Substituindo o intervalo de integração, o termo que possui a função seno irá ser nulo pelo fato de que . Portanto: