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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8m

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação 0 ≤ x ≤ 1 - y 2 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E, o valor de y será determinado neste caso por:

x ≤ 1 - y 2

- 1 - x ≤ y ≤ 1 - x

Ou:

- 1 ≤ y ≤ 1

E, para determinar o valor de x neste caso:

0 ≤ x ≤ 1 - y 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 1 - y 2 - x d x d y

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 1 - y 2 - x d x d y

Resolvendo a integral em relação à x :

V = ∫ - 1 1 x - x y 2 - x 2 2 | x = 1 - y 2 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ - 1 1 1 - y 2 - 1 - y 2 y 2 - 1 - y 2 2 2 d y

V = ∫ - 1 1 1 - y 2 2 - 1 2 1 - y 2 2 d y

V = ∫ - 1 1 1 2 1 - y 2 2 d y

V = 1 2 ∫ - 1 1 1 - 2 y 2 + y 4 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y :

V = 1 2 y - 2 y 3 3 + y 5 5 | y = 1 y = - 1

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = 1 2 1 - 2 3 + 1 5 - - 1 + 2 3 - 1 5

V = 1 2 2 - 4 3 + 2 5

V = 8 15

Resposta

8 15

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