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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8a

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x 2 + y 2 ≤ 1 . Com isso, os limites de integração podem ser dados por:

- 1 ≤ x ≤ 1

E

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

Ou:

- 1 ≤ y ≤ 1

E

- 1 - y 2 ≤ x ≤ 1 - y 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 4 - x + y + 2 d y d x

V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 2 - x - y d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

V = ∫ - 1 1 2 y - x y - y 2 2 | y = 1 - x 2 y = - 1 - x 2 d x

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ - 1 1 2 1 - x 2 - x 1 - x 2 - 1 - x 2 2 + 2 1 - x 2 - x 1 - x 2 + 1 - x 2 2 d x

V = ∫ - 1 1 4 1 - x 2 - 2 x 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x , os dois termos podem ser resolvidos através do método da substituição simples, com x = s e n u e d x = c o s u d u para o primeiro termo e com v = 1 - x 2 e d v = - 2 x d x para o segundo termo.

Também, fazendo as substituições tem-se que:

Quando x = 1 → u = π / 2 e v = 0

Quando x = - 1 → u = 3 π / 2 e v = 0

Então:

V = 4 ∫ 1 - s e n 2 u   c o s u   d u | u = π / 2 u = 3 π / 2 + ∫ v d v | v = 0 v = 0

Lembrando que:

c o s 2 u = 1 - s e n 2 u

Então:

V = 4 ∫ c o s 2 u   c o s u   d u | u = π / 2 u = 3 π / 2 + 0

V = 4 ∫ c o s 2 u   d u | u = π / 2 u = 3 π / 2

Utilizando a identidade trigonométrica

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

A integral pode ser reescrita como:

V = 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u | u = π / 2 u = 3 π / 2

V = 2 u + s e n 2 u | u = π / 2 u = 3 π / 2

Como 3 π / 2 = - π / 2 , então:

V = 2 u + s e n 2 u | u = π / 2 u = - π / 2

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = π + s e n π - - π - s e n - π

V = 2 π

Resposta

2 π

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