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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 15

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 1 3 ∫ 1 x d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos a função:

y = x

Logo:

r   s e n θ = r   c o s ⁡ ( θ )

θ = π 4

E também que:

y = 1

r   s e n θ = 1

r = 1 s e n θ = c o s s e c ( θ )

Tendo os extremos da segunda integral:

x = 3

r cos ⁡ θ = 3

r = 3 cos ⁡ θ = 3   sec ⁡ θ

e

r   s e n θ = 1

r cos ⁡ θ = 3

t g θ = 1 / 3

θ = π 6

Passo 3

Assim:

∫ 1 3 ∫ 1 x d x   d y = ∫ π 6 π 4 ∫ c o s s e c θ 3 sec ⁡ θ r   d r   d θ

∫ π 6 π 4 1 2 r 2 c o s s e c θ 3   s e c θ d θ

1 2 ∫ π 6 π 4 3 sec 2 ⁡ θ - c o s s e c 2 θ d θ

1 2 3 t g θ + c o t g θ π 6 π 4

2 - 3

Resposta

∫ 1 3 ∫ 1 x d x   d y = ∫ π 6 π 4 ∫ c o s s e c θ 3 sec ⁡ θ r   d r   d θ

E o valor da integral é:

2 - 3

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