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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 71

Suponha que f 1 = 2 , f 4 = 7 , f ' 1 = 5 , f ' 4 = 3 e que f ' ' seja contínua. Determine o valor de ∫ 1 4 x   f ' ' x   d x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😎

Essa é uma daquelas questões que o enunciado é mais difícil que a própria questão. Ele fornece um monte de informações e pede para calcularmos uma integral.

Vamos tentar aplicar o método de integração por partes e ver no que dá....

O método de integração por partes é dado por

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Bora lá! 😁

Passo 2

Tomando u = x e d v = f ' ' x   d x , temos que d u = d x e v = f ' ( x ) . Assim,

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = x   f ' x 1 4 - ∫ 1 4 f ' x   d x

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 4 f ' 4 - f ' 1 - f x 1 4

Desta forma, temos

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 4 f ' 4 - f ' 1 - f 4 + f ( 1 )

Substituindo as informações dadas no enunciado:

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 4 ⋅ 3 - 5 - 7 + 2

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 12 - 5 - 7 + 2

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 2

E aí, entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 1 4 x   f ' ' x   d x = 2

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