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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 70

Se f (0) = g (0) = 0 e f ' ' e g ' ' são contínuas, mostre que

int_0^a f (x) g ' ' ( x ) = f (a) g^' (a) - f^' (a) g (a) + int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x

Passo 1

A questão pede para demonstrarmos a relação dada considerando que f (0) = g (0) = 0 . Bom, sei que parece que difícil saber até por onde começar, então vamos assim: tente aplicar partes na primeira integral e vamos ver onde chegamos...

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Chamando u = f ( x ) e d v = g ' ' ( x ) , segue que d u = f^' (x) d x e v = g ' ( x ) . Assim,

int_0^a f (x) g ' ' ( x ) = [f (x) g^' (x)]_0^a - int_0^a f^' (x) g^' (x) d x

Como f (0) = 0 , temos que

int_0^a f (x) g^(' ') (x) = f (a) g^' (a) - int_0^a f^' (x) g^' (x) d x

Passo 3

Vamos aplicar partes de novo para a segunda equação: u = f^' (x) e d v = g^' (x) d x , de modo que d u = f^(' ') (x) d x e v = g ( x ) . Assim,

int_0^a f^' (x) g^' (x) d x = [f^' (x) g (x)]_0^a - int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x

Como g (0) = 0 , segue

int_0^a f^' (x) g^' (x) d x = f^' (a) g (a) - int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x

Assim, a integral que queríamos calcular desde o começo é

int_0^a f (x) g^(' ') (x) = f (a) g^' (a) - (f^' (a) g (a) - int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x)

Portanto,

int_0^a f (x) g ' ' ( x ) = f (a) g^' (a) - f^' (a) g (a) + int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x

Resposta

Demonstração.

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