Se f(0) = g(0) = 0 e f'' e g'' são contínuas, mostre que

∫ 0 a f x   g ' ' ( x ) = f a   g ' a - f ' a   g a + ∫ 0 a f ' ' x   g x   d x

Passo 1

A questão pede para demonstrarmos a relação dada considerando que f 0 = g 0 = 0 . Bom, sei que parece que difícil saber até por onde começar, então vamos assim: tente aplicar partes na primeira integral e vamos ver onde chegamos...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Chamando u = f ( x ) e d v = g ' ' ( x ) , segue que d u = f ' x d x e v = g ' ( x ) . Assim,

∫ 0 a f x   g ' ' ( x ) = f x   g ' x 0 a - ∫ 0 a f ' x   g ' x   d x

Como f 0 = 0 , temos que

∫ 0 a f x   g ' ' x = f a   g ' a - ∫ 0 a f ' x   g ' x   d x

Passo 3

Vamos aplicar partes de novo para a segunda equação: u = f ' x e d v = g ' x d x , de modo que d u = f ' ' x   d x e v = g ( x ) . Assim,

∫ 0 a f ' x   g ' x   d x = f ' x g x 0 a - ∫ 0 a f ' ' x   g x d x

Como g 0 = 0 , segue

∫ 0 a f ' x   g ' x   d x = f ' a   g a - ∫ 0 a f ' ' x   g x d x

Assim, a integral que queríamos calcular desde o começo é

∫ 0 a f x   g ' ' x = f a   g ' a - f ' a   g a - ∫ 0 a f ' ' x   g x d x

Portanto,

∫ 0 a f x   g ' ' ( x ) = f a   g ' a - f ' a   g a + ∫ 0 a f ' ' x   g x   d x

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados