Use o exercício 47 para encontrar ∫ ln ⁡ x 3 d x .

Passo 1

No exercício 47 foi demonstrado uma fórmula de recorrência do tipo

∫ ln ⁡ x n = x   ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1   d x

Desta forma, para resolver esse problema, vamos apenas aplicar essa expressão. Como queremos a integral do logaritmo elevado ao cubo, vamos começar com n = 3 .

Passo 2

Usando n = 3 na fórmula de recorrência:

∫ ln ⁡ x 3   d x = x   ln ⁡ x 3 - 3 ∫ ln ⁡ x 2 d x

Para calcular a segunda integral, vamos usar a fórmula com n = 2 :

∫ ln ⁡ x 2 d x = x   ln ⁡ x 2 - 2 ∫ ln ⁡ x   d x

Assim,

∫ ln ⁡ x 3   d x = x   ln ⁡ x 3 - 3 x   ln ⁡ x 2 + 6 ∫ ln ⁡ x   d x

Passo 3

Usando agora a fórmula com n = 1 :

∫ ln ⁡ x = x ln ⁡ x - ∫ ln ⁡ x 0   d x = x ln ⁡ x - x

Assim, não esquecendo de somar a constante C :

∫ ln ⁡ x 3   d x = x   ln ⁡ x 3 - 3 x   ln ⁡ x 2 + 6 x ln ⁡ x - 6 x + C

Resposta

x   ln ⁡ x 3 - 3 x   ln ⁡ x 2 + 6 x ln ⁡ x - 6 x + C

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