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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 55

Use o exercício 47 para encontrar int (ln x)^3 d x .

Passo 1

No exercício 47 foi demonstrado uma fórmula de recorrência do tipo

int (ln x)^n = x (ln x)^n - n int (ln x)^(n - 1) d x

Desta forma, para resolver esse problema, vamos apenas aplicar essa expressão. Como queremos a integral do logaritmo elevado ao cubo, vamos começar com n = 3 .

Passo 2

Usando n = 3 na fórmula de recorrência:

int (ln x)^3 d x = x (ln x)^3 - 3 int (ln x)^2 d x

Para calcular a segunda integral, vamos usar a fórmula com n = 2 :

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 int ln x d x

Assim,

int (ln x)^3 d x = x (ln x)^3 - 3 x (ln x)^2 + 6 int ln x d x

Passo 3

Usando agora a fórmula com n = 1 :

int ln x = x ln x - int (ln x)^0 d x = x ln x - x

Assim, não esquecendo de somar a constante C :

int (ln x)^3 d x = x (ln x)^3 - 3 x (ln x)^2 + 6 x ln x - 6 x + C

Resposta

x (ln x)^3 - 3 x (ln x)^2 + 6 x ln x - 6 x + C

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