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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 32

Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q , P R e P S

P 0 , 1 , 2

Q 2 , 4 , 5

R - 1 , 0 , 1

S 6 , - 1,4

Passo 1

O volume de um paralelepípedo pode ser expresso através do módulo do produto misto dos vetores que definem o seu lado. Neste caso, ele é dado por:

V = P Q ⋅ P R × P S

Sendo assim, nossa primeira tarefa é determinar quem são cada um desses três vetores! Como temos as coordenadas dos pontos P, Q e R, basta fazermos coordenada final menos coordenada inicial para cada vetor.

Sendo assim, vamos determina-los!

P Q = Q - P

P Q = 2,4 , 5 - 0,1 , 2

P Q = 2 , 3 , 3

Já para o vetor P R , temos:

P R = R - P

P R = - 1 , 0 , 1 - 0,1 , 2

P R = - 1 , - 1 , - 1

Por fim, o vetor P S será dado por:

P S = S - P

P S = 6 , - 1 , 4 - 0,1 , 2

P S = 6 , - 2 , 2

Passo 2

Agora que conseguimos determinar cada um dos vetores, vamos fazer o produto misto deles. Sendo assim,

P Q ⋅ P R × P S = 2 3 3 - 1 - 1 - 1 6 - 2 2

P Q ⋅ P R × P S = - 4 - 18 + 6 - - 18 + 4 - 6

P Q ⋅ P R × P S = - 16 - - 20 = 4

Portanto, o volume é:

V = P Q ⋅ P R × P S = 4

Resposta

V = P Q ⋅ P R × P S = 4

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