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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 4

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = t^2 i + 2 t j + ln t k , 1 <= t <= e

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = x (t) i + y (y) j + z (t) k

O comprimento de curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = t^2 i + 2 t j + ln t k],[1 <= t <= e]])

Vamos utilizar a formula e determinar o cpmprimento. Então, primeiro, derivando a função dada.

r^' (t) = 2 t i + 2 j + (1)/(t) k

Isso nos dá que

|r^' (t)| = sqrt(4 t^2 + 4 + ((1)/(t))^2) = (1 + 2 t^2)/(| t |) = (1 + 2 t^2)/(t)

E então, para o intervalo 1 <= t <= e

L = int_1^e (1 + 2 t^2)/(t) d t = int_1^e ((1)/(t) + 2 t) d t = [ln t + t^2]_1^e = e^2

Resposta

L = e^2

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