Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ 2 y ≥ raiz(x - 1) e 0 ≤ y ≤ x^2

Passo 1

Nessa questão temos três inequações, então faremos três gráficos e a interseção. Com isso, veremos melhor as informações importantes!

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

0 ≤ x ≤ 2

y ≥ x - 1

0 ≤ y ≤ x 2

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 2

Faremos a diferença entre os volumes determinados pela funções y = x 2   e   y = x - 1

Chamaremos de V 1 , o volume determinado pela função y = x 2 e o limite de integração será de 0   a   2

Chamaremos de V 2 , o volume determinado pela função y = x - 1 e o limite de integração será de 1   a   2

Deixarei nossa fórmula aqui, caso você tenha esquecido hein!!!

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Calcularemos V 1 :

V 1 = 2 π ∫ 0 2 x 3 d x = 2 π x 4 4 2 0 = 8 π

Calcularemos V 2 :

V 2 = 2 π ∫ 1 2 x x - 1 d x

A integral acima não é imediata, para fazermos iremos chamar u de x - 1

u = x - 1

u + 1 = x

d u = d x

Substituiremos todas as informações acima dentro da integral:

∫ x x - 1 d x = ∫ u + 1 u d u = ∫ u u d u + ∫ u d u = 2 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2 + c

Voltando para a variável inicial, temos isso aqui ó:

∫ x x - 1 d x d x = 2 5 ( x - 1 ) 5 2 + 2 3 ( x - 1 ) 3 2 + c

Com a integral indefinida já calculado, com certo suor kkk, faremos a definida agora:

V 2 = 2 π ∫ 1 2 x x - 1 d x = 2 π 2 5 ( x - 1 ) 5 2 + 2 3 ( x - 1 ) 3 2 2 1 = 2 π 2 5 + 2 3 = 32 π 15

Ufaaaa, estamos terminando, só mais um poquinho! Tome seu café e vamos lá!

V = V 1 - V 2 = 8 π - 32 π 15 = 88 π 15

Resposta

V = 88 π 15

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