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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 2c

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ e ,   0 ≤ y ≤ 2   e   y ≥ ln ⁡ x

Passo 1

Vamos fazer os três gráficos da questão, nunca se esqueça de fazê-los mesmo que os gráficos sejam fáceis, eles darão uma excelente ideia pra gente.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

0 ≤ x ≤ e

0 ≤ y ≤ 2  

y ≥ ln ⁡ x

E finalmente faremos o gráfico da interseção entre os gráficos acima que estará em verde escuro:

Passo 2

Vamos organizar as ideias, chamaremos de V 1 , o volume delimitado pela função y = 2 e com limite de integração de 0   a   e .

V 2 , o volume delimitado pela função   y = ln ⁡ x e com limite de integração de 1   a   e , lembre-se que a função ( y = ln ⁡ x ) está definida para x ≥ 1 nas condições que o problema nos deu

O nosso volume será dado pela subtração entre V 1 e V 2 , anote isso, seria muito estressante se errássemos a parte mais tranquila da questão!

Caso tenha esquecido, está aí a fórmula, meu amigo!!!

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Faremos o cálculo de V 1 , vem comigo!

V 1 = 2 π ∫ 0 e 2 x d x = 2 π 2 x 2 2 e 0 = 2 π e 2

Faremos agora o cálculo de V 2 , não se intimide, continuaremos:

V 2 = 2 π ∫ 1 e x ln ⁡ x d x

Essa integral não é imediata. Então faremos uma mudança de variável, dessa forma ó:

Usaremos o método de integração por parte!!! Lembra?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = ln ⁡ x   d u = 1 x d x

d v = x d x   v = x 2 2

∫ xln ⁡ x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫   x 2 2 1 x d x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫   x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + c

Para finalizar o V 2 , faremos a integral definida com a indefinida já calculada. Vamos lá!!

V 2 = 2 π ∫ 1 e x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 e 1 = 2 π e 2 2 - e 2 4 + 1 4 = π e 2 + 1 2

Enfim, faremos para terminar a subtração dos dois volumes calculados e dessa forma acabará a nossa questão! Pode comemorar, você é meu guerreirinho!

V = V 1 - V 2 = 2 π e 2 - π e 2 + 1 2 = π 3 e 2 - 1 2

Resposta

V = π 3 e 2 - 1 2

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A base de um sólido é a região limitada pela parábola y 2 = 8 x e a reta x = 8 . Ache o volume do sólido, se toda secção plana perpendicular ao eixo da base for um quadrado.
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 - 3 x , pelo eixo x e pela reta x = 1 gira em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 + 2 x , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , gira em torno do eixo x .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.Eixo x
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x A região, no primeiro quadrante, limitada acima pela reta y = 2 . Abaixo pela curva y