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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1i

  1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que

i) y ≥ x 2   e   x 2 + y 2 ≤ 2 .

Passo 1

Fórmula para o volume do sólido,

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

Para x 2 + y 2 ≤ 2   e   y ≥ x 2 ,     s ã o   a s   c u r v a s   y = x 2   e   c i r c u n f e r ê n c i a   d e   r a i o   2 ,   c o m   a   r o t a ç ã o   e   d e l i m i t a d a   p o r   - 2 ≤ x ≤ 2 ,   o   g r á f i c o   s e r á   d e s s a   f o r m a :

  V 1 = π ∫ 0 1 2 - x 2 2 d x

  V 2 = π ∫ 0 1 x 2 2 d x

Passo 3

Resolvendo...

V 1 - V 2 = π 2 x - x 3 3 | 0 1 - π x 5 5 | 0 1 = π 2 - 1 3 - 1 5 = π 5 3 - 1 5 = π 22 15

Como usamos a metade do intervalo, precisamos considerar a outra metade.

  V = 2 π 22 15

Resposta

  V = 44 π 15

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