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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 29

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 3 em torno de A B .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( y ) d y

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 3 , que é delimitada pela função x = y 4   e x = y . Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta x = 1 . Assim, a área do disco é igual a:

A y = π R 2 - π r 2 = π 1 - y 4 2 - 1 - y 2 = π 1 - 2 y 4 + y 8 - 1 - 2 y + y 2

A y = π [ y 8 - 2 y 4 - y 2 + 2 y ]

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π [ y 8 - 2 y 4 - y 2 + 2 y ] d y = π ∫ [ y 8 - 2 y 4 - y 2 + 2 y ] d y = π y 9 9 - 2 y 5 5 - y 3 3 + y 2 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 y 8 - 2 y 4 - y 2 + 2 y ] d y = π y 9 9 - 2 y 5 5 - y 3 3 + y 2 0 1

V = π 1 9 - 2 5 - 1 3 + 1 = 17 π 45

Resposta

O resultado final é:

V = 17 π 45

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