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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 1f

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

1 ≤ x ≤ 4     e 1 ≤ y ≤ x

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

1 ≤ y ≤ x ,   1 ≤ x ≤ 4  

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o x com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o volume desses cilindros é: 2 π r × h × l , sendo que l é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre x e 1 (que é ( x - 1 ) ) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

∫ 2 π x × ( x - 1 ) × d x

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 1 a 4 temos também os limites de integração

∫ 1 4 2 π x × ( x - 1 ) × d x

Bora lá!

Passo 2

∫ 1 4 2 π x ( x - 1 ) d x

Para resolver, primeiro jogamos as constantes para fora e fazemos a distributiva:

2 π ∫ 1 4 ( x x - x ) d x

Agora separamos os valores para ficar mais claro:

2 π ∫ 1 4 x x d x - ∫ 1 4 x d x

Agora colocamos o expoente na primeira pra ficar mais fácil:

∫ 1 4 x x d x = ∫ 1 4 x 1 × x 1 2 d x = ∫ 1 4 x 3 2 d x = 2 5 x 5 2 + c

O segundo sabemos fazer:

∫ 1 4 x d x = x 2 2 + c

Agora substituímos:

2 π ∫ 1 4 x x d x - ∫ 1 4 x d x = 2 π 2 5 x 5 2 - x 2 2 + c = 2 π x 2 2 5 x 1 2 - 1 2 + c 4 1

Passo 3

Agora vamos aplicar os limites de integração:

2 π x 2 2 5 x 1 2 - 1 2 + c 4 1 = 2 π 4 2 2 5 4 1 2 - 1 2 + c - 1 2 2 5 1 1 2 - 1 2 + c

2 π 16 4 5 - 1 2 + c - 2 5 - 1 2 + c = 2 π 16 4 5 - 1 2 - 2 5 - 1 2

2 π 16 8 - 5 10 - 4 - 5 10 = π 16 3 5 + 1 5 = 49 π 5

Resposta

V = ∫ 1 4 2 π x × ( x - 1 ) × d x =   49 π 5

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Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x²+y² =0, e cujas secções perpendiculares ao eixo Ox são triângulos equiláteros.
Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 4x²+y²
Calcule o volume do sólido cuja base é o triângulo equilátero de lado l e cujas secções perpendiculares a um dos lados são quadrados.
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Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pela curva y = x 2 e o eixo x e x = 0 até x = 2 e cujas seções transversais, tomadas perpendicularmente ao eixo x , são quadrados.