Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 1b

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

e

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o volume desses cilindros é: , sendo que é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre e 0 (que é o próprio ) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 0 a temos também os limites de integração

Mão na massa!

Passo 2

Podemos reescrever a equação de dentro sendo:

Resolvendo:

Passo 3

Agora aplicando os limites de integração:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x . y = e x ; y = 0 ; x = 0 ; x = ln ⁡ 3

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x . x = y ; x = y / 4

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x . y = sin ⁡ x ; y = cos ⁡ x

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x . y = e - 2 x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x . y = 1 4 + x 2 ; y = 0 ; x = - 2 ; x = 2