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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 22

Seja f : R 2 → R dada por: f x , 0 = 1 + x 2 , f 0 , y = 1 + y 2 e f x , y = 0 se x ≠ 0 e y ≠ 0 .

a) Esboce o gráfico de f .

b) Calcule ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0 .

c) f é contínua em 0,0 ? Justifique.

d) ∂ f ∂ x 0,1 existe? E ∂ f ∂ x 1,0 ?

c) Qual o domínio de ∂ f ∂ x ?

Passo 1

a) Para esboçar o gráfico, notamos o seguinte: a f é quase sempre zero. A função só vai ter algum valor em cima dos eixos x e y (no caso, seriam parábolas).

Com estas informações básicas, o gráfico fica algo assim:

Passo 2

b) Para calcular ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0 devemos primeiramente obter ∂ f ∂ x x , 0 e ∂ f ∂ y 0 , y , como a seguir:

∂ f ∂ x x , 0 = ∂ ∂ x f x , 0 = ∂ ∂ x 1 + x 2 = 2 x

∂ f ∂ y 0 , y = ∂ ∂ y f 0 , y = ∂ ∂ y 1 + y 2 = 2 y

Aplicando no ponto 0,0 , obtemos

∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0

Passo 3

c) f é contínua em 0,0 ? Bem, se fosse verdade, não ocorreriam saltos na função f e nem nas suas derivadas próximo do ponto 0,0 .

Mas, pelo gráfico, percebemos que existem saltos sim! Ou seja, embora f 0,0 = 1 , se nos afastarmos um pouquinho em qualquer direção, digamos se pegarmos f 0.1,0.2 , f 0.0003434,0.000002381 ou qualquer valor mesmo que próximo à origem, sempre obteremos f = 0 nesse valor.

Logo, f não é contínua em ( 0,0 ) .

Passo 4

d) ∂ f ∂ x 0,1 existe? Vamos ser diretos: Não. Não existe! A f dá um pulaço nesse ponto (em relação a x ), e portanto não podemos definir a derivada em x ali.

Já no ponto ( 1,0 ) , a derivada está perfeitamente definida (de fato, nós já calculamos até):

∂ f ∂ x x , 0 = ∂ ∂ x f x , 0 = ∂ ∂ x 1 + x 2 = 2 x

Logo, ∂ f ∂ x 1,0 = 2 .

Passo 5

d) Qual o domínio de ∂ f ∂ x ? Bem, o domínio são todos os x , y para os quais ∂ f ∂ x existe.

De fato, sabemos o seguinte:

- ∂ f ∂ x existe ao longo do eixo x (item anterior)

- ∂ f ∂ x não existe ao longo do eixo y (item anterior)

- ∂ f ∂ x existe em todos os outros pontos ( f = 0 e ∂ f ∂ x = 0 ).

Logo, a conclusão é: o domínio de ∂ f ∂ x são todos os ( x , y ) menos o eixo x = 0 .

Resposta

a)

b) ∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0

c) f não é contínua em 0,0 .

d) ∂ f ∂ x 0,1 não existe. ∂ f ∂ x 1,0 existe.

c) Todos os ( x , y ) menos o eixo x = 0 .

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