Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 56
Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante seja dado por:
a) Encontre o maior e o menor número de bactérias no intervalo de tempo .
b) Em que momento, no intervalo de tempo de a), o número de bactérias decresce mais rapidamente?
Passo 1
a) Então galera, a função que nos foi dada é a seguinte:
Vale ressaltar que a função está contida no intervalo de tempo : . Show! Para encontrarmos o maior e menor número de bactéricas nesse intervalo de tempo devemos utilizar os conceitos de máximos e mínimos do Cálculo, ok? Sendo assim, de início temos que derivar nossa função. Dessa forma:
Simplificando:
Show! Encontramos nossa derivada!
Passo 2
Agora que encontramos nossa derivada, temos que iguala-la a zero, ó:
E isso só será zero se:
Uma vez que nunca será zero. Da expressão acima tiramos que:
Então esse é nosso único ponto crítico! Tendo em vista esse resultado, agora vamos substituir esse valor que encontramos agora e o intervalo que nos foi dado na nossa função , se liga:
Comparando os resultados, temos que:
E estão aí o maior e menor número de bactérias no intervalo de tempo dado!
Passo 3
b) Então galera, para descobrirmos isso devemos utilizar o teste da derivada segunda, se liga:
Igualando a zero, teremos:
Como nunca será zero, então essa expressão só dará zero se:
Então é nesse momento em que o número de bactérias decresce mais rapidamente!
Resposta
a)
b)