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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8b

8. Calcule

b)

int (2)/(4 + x^2) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (2)/(4 + x^2) d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

int (d u)/(1 + u^2) = arctg (u) + k

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

Vamos ver o termo que queremos integrar.

E = (2)/(4 + x^2)

Passando esse 3 pra baixo:

E = (1)/(2 + (x^2)/(2))

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u^2 . Então vamos colocar o 2 em evidencia!

E = (1)/(2 (1 + (x^2)/(4)))

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = int (1)/(2 (1 + (x^2)/(4))) d x

Tirando 2 da integral:

I = (1)/(2) int (1)/((1 + (x^2)/(4))) d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u^2 = (x^2)/(4) -> u = (x)/(2)

Derivando,

d u = (d x)/(2) -> d x = 2 d u

Então a integral fica:

I = (1)/(2) 2 int (1)/((1 + u^2)) d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = (arctg (u) + k)

Voltando para variável x e juntando as constantes:

u = (x)/(2)

Substituindo o u :

I = arctg ((x)/(2)) + k

Resposta

int (2)/(4 + x^2) d x = arctg ((x)/(2)) + k

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
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Complete o quadrado, faça uma substituição u adequada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem completar qu