1. Calcule

b)   ∫ - 1 3 f x d x     onde       f x = 1       s e - 1 ≤ x < 0 x 2   s e           0 < x < 2 0       s e           2 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ - 1 , 3 ] e descontínua apenas nos pontos x = 0 e x = 2 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

∫ - 1 3 f x d x = ∫ - 1 0 f x d x + ∫ 0 2 f x d x + ∫ 2 3 f x d x

Sacou?!

Passo 2

No intervalo [ - 1 , 0 [ :

f x = 1

Logo,

I 1 = ∫ - 1 0 1   d x

Então,

I 1 = ∫ - 1 0 d x → I 1 = x   | - 1 0

Aplicando entre os pontos - 1 e 0 :

I 1 = 0 - ( - 1 ) →   I 1 = 1

Passo 3

No intervalo [ 0 , 2 [ :

f x = x 2

Assim,

I 2 = ∫ 0 2 x 2 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

I 2 = x 2 + 1 2 + 1 ​ 0 2

Aplicando entre os pontos 0 e 2 :

I 2 = 2 3 3 - 0 3 3 = 8 3

Passo 4

Por fim, vamos analisar entre os pontos [ 2,3 [ .

f x = 0

Então a integral fica assim ó:

I 3 = ∫ 2 3 0   d x

Portanto,

I 3 = 0 ∫ 2 3 d x → I 3 = 0

Juntando tudo, temos:

∫ - 1 3 f x d x = I 1 + I 2 + I 3

Substituindo os valores:

∫ - 1 3 f x d x = 1 + 8 3 = 11 3  

Resposta

∫ - 1 3 f x d x = 11 3

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