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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 1b

  1. Calcule

b) int_(- 1)^3 f (x) d x onde f (x) = {[[1 s e - 1 <= x < 0],[x^2 s e 0 < x < 2],[0 s e 2 <= x <= 3]])

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ - 1 , 3 ] e descontínua apenas nos pontos x = 0 e x = 2 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

int_(- 1)^3 f (x) d x = int_(- 1)^0 f (x) d x + int_0^2 f (x) d x + int_2^3 f (x) d x

Sacou?!

Passo 2

No intervalo [ - 1 , 0 [ :

f (x) = 1

Logo,

I_1 = int_(- 1)^0 1 d x

Então,

I_1 = int_(- 1)^0 d x -> I_1 = x |_(- 1)^0

Aplicando entre os pontos - 1 e 0 :

I_1 = (0 - ( - 1 )) -> I_1 = 1

Passo 3

No intervalo [ 0 , 2 [ :

f (x) = x^2

Assim,

I_2 = int_0^2 x^2 d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

I_2 = (x^(2 + 1))/(2 + 1) (​|_0^2

Aplicando entre os pontos 0 e 2 :

I_2 = (2^3)/(3) - (0^3)/(3) = (8)/(3)

Passo 4

Por fim, vamos analisar entre os pontos [ 2,3 [ .

f (x) = 0

Então a integral fica assim ó:

I_3 = int_2^3 0 d x

Portanto,

I_3 = 0 int_2^3 d x -> I_3 = 0

Juntando tudo, temos:

int_(- 1)^3 f (x) d x = I_1 + I_2 + I_3

Substituindo os valores:

int_(- 1)^3 f (x) d x = 1 + (8)/(3) = (11)/(3)

Resposta

int_(- 1)^3 f (x) d x = (11)/(3)

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