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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10c

10. Calcule

c)

int t g^2 (x) d x

Passo 1

Oi, galerinha! Para gente resolver essa questão vamos precisar aplicar uma identidade trigonométrica até chegarmos a alguma integral trigonométrica conhecida!

O enunciado nos forneceu a seguinte integral,

I = int t g^2 (x) d x

Como não sabemos diretamente o valor dessa integral, vamos dar uma mexida!

Passo 2

Lá da trigonometria temos:

t g^2 (x) = sec^2 (x) - 1

Substituindo na nossa integral, as coisas ficam assim:

int t g^2 (x) d x = int ( sec^2 (x) - 1 ) d x

Separando em dois termos:

I = int sec^2 ( x ) d x - int d x

Parece que só trocamos a t g^(2 x) por sec^2 x e o nosso problema continua, né?

Mas acontece é que a integral de sec^2 x é direta, pois

y = t g x -> y^' = sec^2 x

Logo,

int sec^2 (x) d x = t g (x) + k

Passo 3

Agora vamos integrar

I = int sec^2 (x) d x - int d x

I = t g x - x + C

Resposta

int t g^2 (x) d x = t g (x) - x + k

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