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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 2c

  1. Calcule

c) int_0^x f (t) d t onde f (t) = {[[t^2 s e - 1 <= t <= 1],[2 s e t > 1]])

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 <= x < 1 :

I = int_0^x f (t) d t

Se x >= 1 :

I = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f (t) = t^2 , pois 0 <= x < 1

Logo,

I = int_0^x t^2 d t

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Resolvendo a integral:

I = (t^3)/(3) |_0^x

Por fim,

I = (x^3)/(3) - ((0)^3)/(3) -> I = (x^3)/(3)

Passo 3

Agora vamos analisar o caso em que x >= 1 .

I = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Entre [ - 1,1 ] :

f (t) = t^2

E entre [1 , x] :

f (t) = 2

Assim,

I = int_0^1 t^2 d t + int_1^x 2 d t

Resolvendo, temos:

I = (t^3)/(3) |_0^1 + 2 xx t |_1^x

Logo,

I = ((1^3)/(3) - (0^3)/(3)) + 2 xx ( x - 1 )

Fazendo as contas

I = 2 x - (5)/(3)

Agora podemos juntar nossas respotas.

int_0^x f (t) d t = {[[(x^3)/(3) , 0 <= x < 1],[2 x - (5)/(3) , x >= 1]])

Resposta

int_0^x f (t) d t = {[[(x^3)/(3) , 0 <= x < 1],[2 x - (5)/(3) , x >= 1]])

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