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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 2a

  1. Calcule

a) int_0^x f (t) d t o n d e f (t) = {[[1 s e 0 <= t < 1],[0 s e t >= 1]])

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 <= x < 1 :

I = int_0^x f (t) d t

Se x >= 1 :

I = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f (t) = 1 , pois 0 <= x < 1

Logo,

I = int_0^x 1 d t = int_0^x d t

Resolvendo a integral:

I = t |_0^x = (x - 0)

Por fim,

I = x

Passo 3

Agora vamos analisar o caso em que x >= 1 .

I = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Então,

I = int_0^1 1 d t + int_1^x 0 d t

Arrumando as coisas:

I = int_0^1 d t + 0 int_1^x d t

Resolvendo, temos:

I = t |_0^1 + 0 xx |_1^x

Portanto,

I = (1 - 0) + 0

Isto é,

I = 1

Por fim, podemos juntar nossas respostas. Logo,

int_0^x f (t) d t = {[[x , 0 <= x < 1],[1 , x >= 1]])

Resposta

int_0^x f (t) d t = {[[x , 0 <= x < 1],[1 , x >= 1]])

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