1. Calcule

a) ∫ 0 x f t d t     o n d e     f t = 1       s e       0 ≤ t < 1   0       s e           t ≥ 1  

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 ≤ x < 1 :

I = ∫ 0 x f t d t

Se x ≥ 1 :

I = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f t = 1 , pois 0 ≤ x < 1

Logo,

I = ∫ 0 x 1 d t = ∫ 0 x d t

Resolvendo a integral:

I = t | 0 x = x - 0

Por fim,

I = x

Passo 3

Agora vamos analisar o caso em que x ≥ 1 .

I = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Então,

I = ∫ 0 1 1 d t + ∫ 1 x 0 d t

Arrumando as coisas:

I = ∫ 0 1 d t + 0 ∫ 1 x d t

Resolvendo, temos:

I = t | 0 1 + 0 × | 1 x

Portanto,

I = 1 - 0 + 0

Isto é,

I = 1

Por fim, podemos juntar nossas respostas. Logo,

∫ 0 x f t d t = x ,       0 ≤ x < 1 1 ,                       x ≥ 1

Resposta

∫ 0 x f t d t = x ,       0 ≤ x < 1 1 ,                       x ≥ 1

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