Calcule

h) lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x

Passo 1

Repara no seguinte: jogando x pro infinito, vamos obter um limite da forma ∞ 0 , que é um problema pra gente. Pra fugir dessa parada, tem um macete. Uma potência qualquer a b pode ser escrita assim:

a b = e ln ⁡ a b = e b l n a

E aí vamos reescrever o limite desse jeito. Isso vai ajudar a solucionar o problema!

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e 1 ln ⁡ x ln ⁡ x 2 + 1 = e lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ln ⁡ x 2 + 1

Porém, perceba que lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ln ⁡ x 2 + 1 tem uma indeterminação do tipo “ ∞ ∞ “.

Passo 2

Então, vamos tentar acabar com a indeterminação aplicando L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ln ⁡ x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 ' ln ⁡ x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 2 x + 0 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x 2 + 1

Passo 3

Como ainda há indeterminação do tipo “ ∞ ∞ “, aplicamos L’Hospital novamente:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x + 0 = lim x → + ∞ ⁡ 2 = 2

Logo,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x = e lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ln ⁡ x 2 + 1 = e 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x = e 2

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