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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1h

Calcule

h) underset(x -> + oo)(lim) (x^2 + 1)^((1)/(ln x))

Passo 1

Repara no seguinte: jogando x pro infinito, vamos obter um limite da forma oo^0 , que é um problema pra gente. Pra fugir dessa parada, tem um macete. Uma potência qualquer a^b pode ser escrita assim:

a^b = e^(ln (a^b)) = e^(b l n (a))

E aí vamos reescrever o limite desse jeito. Isso vai ajudar a solucionar o problema!

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 + 1)^((1)/(ln x)) = underset(x -> + oo)(lim) e^(ln (x^2 + 1)^((1)/(ln x))) = underset(x -> + oo)(lim) e^((1)/(ln x) ln (x^2 + 1)) = e^((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(ln x) ln (x^2 + 1)))

Porém, perceba que underset(x -> + oo)(lim) (1)/(ln x) ln (x^2 + 1) tem uma indeterminação do tipo “ (oo)/(oo) “.

Passo 2

Então, vamos tentar acabar com a indeterminação aplicando L’Hospital:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(ln x) ln (x^2 + 1) = underset(x -> + oo)(lim) ((ln (x^2 + 1))^')/((ln x)^') = underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x^2 + 1) (2 x + 0))/((1)/(x)) = underset(x -> + oo)(lim) (2 x^2)/(x^2 + 1)

Passo 3

Como ainda há indeterminação do tipo “ (oo)/(oo) “, aplicamos L’Hospital novamente:

underset(x -> + oo)(lim) (2 x^2)/(x^2 + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (4 x)/(2 x + 0) = underset(x -> + oo)(lim) 2 = 2

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 + 1)^((1)/(ln x)) = e^((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(ln x) ln (x^2 + 1))) = e^2

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 + 1)^((1)/(ln x)) = e^2

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