Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = + ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ln ⁡ ∞ ∞ 3

Assim,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Isto é,

L = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 1 3

Derivando, L = lim x → + ∞ ⁡ 1 x   1 3 × x - 2 3

Agora vamos dar uma simplifica nisso!

L = lim x → + ∞ ⁡ 3   x 1 3

Pra finalizar, basta fazermos x = ∞ . Logo,

L = 3 ∞ 1 3

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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