Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = 1 / 2 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 2 × 1 2 2 + 1 2 - 1 4 × 1 2 2 - 4 × 1 2 + 1

Fazendo as contas:

L = 1 2 + 1 2 - 1 1 - 2 + 1

Logo,

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

L = lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → 1 / 2 ⁡   2 × 2 x + 1 2 × 4 x - 4

Assim,

L = lim x → 1 / 2 ⁡   4 x + 1 8 x - 4

Se fizermos x = 1 / 2   :

L = 4 × 1 2 + 1 8 × 1 2 - 4

Simplificando:

L = 5 0

Portanto, como o denominador deu zero e o numerador deu positivo. Então, nosso limite será .

Resposta

lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1 = ∞

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